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第1章 概率论1

1.1 引言1

1.1.1 结果1

1.1.2 随机事件2

1.1.3 和事件与积事件2

1.1.4 概率论公理3

1.1.5 主观概率和客观概率3

1.2 联合概率和条件概率4

1.2.1 联合概率5

1.2.2 条件概率5

1.2.3 贝叶斯公式7

1.3 随机变量9

1.3.1 随机分布10

1.3.2 累积密度函数11

1.3.3 从任意随机分布生成随机数值12

1.3.4 随机变量的数学期望12

1.3.5 随机变量的方差13

1.4 矩和矩生成函数14

1.4.1 矩14

1.4.2 矩生成函数15

1.4.3 矩生成函数的特征16

1.5 标准离散分布17

1.5.1 伯努利分布17

1.5.2 二项分布17

1.5.3 几何分布18

1.5.4 泊松分布18

1.6 标准连续分布19

1.6.1 均匀分布20

1.6.2 高斯分布（正态分布）20

1.6.3 指数分布22

1.6.4 幂律分布23

1.7 常用定理24

1.7.1 马尔可夫不等式24

1.7.2 切比雪夫不等式25

1.7.3 切诺夫限25

1.7.4 强大数定律26

1.7.5 中心极限定理27

1.8 联合分布的随机变量28

1.8.1 贝叶斯网络30

1.9 进一步阅读32

1.10 习题32

第2章 统计学35

2.1 总体抽样35

2.1.1 抽样类型36

2.1.2 标度37

2.1.3 异常数据37

2.2 简洁地描述样本37

2.2.1 表38

2.2.2 柱状图、直方图及累计直方图38

2.2.3 样本均值39

2.2.4 样本中值41

2.2.5 差异的度量42

2.3 根据样本参数推断总体参数43

2.4 实验结果的假设检验46

2.4.1 假设检验46

2.4.2 假设检验的差错47

2.4.3 形式化构造一个假设47

2.4.4 将结果与固定值比较48

2.4.5 比较两个实验的结果49

2.4.6 以顺序标度测量的统计量的假设检验51

2.4.7 分布拟合53

2.4.8 力度55

2.5 独立与依赖：回归与相关55

2.5.1 独立56

2.5.2 回归57

2.5.3 相关59

2.6 同时比较多个结果：方差分析62

2.6.1 单因素设计62

2.6.2 多因素设计64

2.7 实验设计64

2.8 处理大数据集65

2.9 统计分析中的常见错误67

2.9.1 定义总体67

2.9.2 比较结果缺乏置信区间67

2.9.3 没有声明原假设67

2.9.4 样本过小68

2.9.5 样本过大68

2.9.6 在收集观测结果时没有控制所有变量68

2.9.7 将顺序标度转换为间隔标度68

2.9.8 忽略异常数据68

2.10 进一步阅读68

2.11 习题69

第3章 线性代数71

3.1 矢量和矩阵71

3.2 矢量和矩阵的代数运算72

3.2.1 加法72

3.2.2 转置72

3.2.3 乘法73

3.2.4 方阵74

3.2.5 矩阵幂运算74

3.2.6 矩阵指数74

3.3 线性组合、独立性、基和维度74

3.3.1 线性组合74

3.3.2 线性无关75

3.3.3 矢量空间、基和维度76

3.4 使用矩阵代数求解线性方程组76

3.4.1 表示76

3.4.2 初等行运算与高斯消元法77

3.4.3 秩78

3.4.4 行列式79

3.4.5 克莱姆定理80

3.4.6 逆矩阵81

3.5 线性变换、特征值和特征向量81

3.5.1 矩阵的线性变换81

3.5.2 矩阵的特征值82

3.5.3 计算矩阵的特征值84

3.5.4 特征值的重要性86

3.5.5 主特征值的作用87

3.5.6 寻找特征值和特征向量87

3.5.7 相似性与对角化89

3.6 随机矩阵90

3.6.1 使用随机矩阵进行状态转移计算91

3.6.2 随机矩阵的特征值91

3.7 习题93

第4章 最优化96

4.1 系统建模和优化96

4.2 最优化导引97

4.3 优化线性系统99

4.3.1 网络流102

4.4 整数线性规划102

4.4.1 完全单模性104

4.4.2 加权二分图匹配104

4.5 动态规划105

4.6 非线性约束优化106

4.6.1 拉格朗日技术107

4.6.2 非线性优化的Karush-Kuhn-Tucker条件108

4.7 启发式非线性优化108

4.7.1 爬山法108

4.7.2 遗传算法110

4.8 习题110

第5章 信号、系统和变换112

5.1 背景知识112

5.1.1 正弦曲线112

5.1.2 复数113

5.1.3 欧拉公式114

5.1.4 离散时间卷积和脉冲函数116

5.1.5 连续时间卷积和狄拉克δ函数118

5.2 信号120

5.2.1 复指数信号120

5.3 系统122

5.4 线性时不变系统的分析123

5.4.1 线性时不变系统对复指数输入信号的输出情况123

5.4.2 线性时不变系统对0输入信号的输出情况124

5.4.3 LTI系统对任意输入信号的输出情况126

5.4.4 LTI系统的稳定性127

5.5 变换127

5.6 傅里叶级数128

5.7 傅里叶变换及其特性130

5.8 拉普拉斯变换135

5.8.1 极点、零点和收敛域136

5.8.2 拉普拉斯变换的属性137

5.9 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换139

5.9.1 脉冲序列139

5.9.2 离散时间傅里叶变换140

5.9.3 混叠141

5.9.4 离散时频傅里叶变换143

5.9.5 快速傅里叶变换144

5.10 Z变换146

5.10.1 Z变换与拉普拉斯变换之间的关系147

5.1 0.2 Z变换的属性148

5.11 进一步阅读150

5.12 习题150

第6章 随机过程与排队论153

6.1 概述153

6.1.1 一般排队系统153

6.1.2 Little定理154

6.2 随机过程154

6.2.1 离散型和连续型随机过程156

6.2.2 马尔可夫过程156

6.2.3 齐次性、状态转移图和切普曼-柯尔莫戈洛夫方程157

6.2.4 不可简约性159

6.2.5 常返性159

6.2.6 周期性159

6.2.7 各态历经性160

6.2.8 一个基本定理161

6.2.9 马尔可夫链的平稳（均衡）概率161

6.2.10 第二个基本定理162

6.2.11 在一个状态的平均停留时间162

6.3 连续时间马尔可夫链163

6.3.1 连续时间随机过程的马尔可夫性质163

6.3.2 连续时间马尔可夫链中的停留时间163

6.3.3 连续时间马尔可夫链中的平稳概率分布164

6.4 生灭过程164

6.4.1 生灭过程的时间演化165

6.4.2 生灭过程的平稳概率分布165

6.4.3 计算转移速率矩阵166

6.4.4 纯生（泊松）过程167

6.4.5 生灭过程的平稳概率分布168

6.5 M/M/1队列169

6.6 M/M/1队列的两个变体172

6.6.1 M/M／∞队列：及时响应的服务器172

6.6.2 M/M／1/K：有限缓存173

6.7 其他排队系统174

6.7.1 M/D/1：确定服务时间175

6.7.2 G/G/1175

6.7.3 队列网络175

6.8 进一步阅读176

6.9 习题176

第7章 博弈论179

7.1 概念与术语179

7.1.1 偏好与偏好排序179

7.1.2 术语181

7.1.3 策略182

7.1.4 博弈表示183

7.1.5 反应与最佳反应185

7.1.6 占优策略与次优策略185

7.1.7 贝叶斯博弈186

7.1.8 重复博弈187

7.2 博弈求解188

7.2.1 解的概念与均衡188

7.2.2 占优策略均衡188

7.2.3 重复消除次优策略189

7.2.4 最大最小均衡190

7.2.5 纳什均衡191

7.2.6 相关均衡193

7.2.7 其他解的概念194

7.3 机制设计195

7.3.1 实际存在的机制195

7.3.2 三个负面结果195

7.3.3 机制设计的例子197

7.3.4 形式化198

7.3.5 机制的理想性质199

7.3.6 显示原理200

7.3.7 VCG机制201

7.3.8 VCG机制的问题203

7.4 博弈论的局限性204

7.5 进一步阅读204

7.6 习题205

第8章 控制论基础207

8.1 控制系统概述207

8.2 系统建模209

8.2.1 建模方式209

8.2.2 数学表示210

8.3 一阶系统213

8.4 二阶系统214

8.4.1 情况1（无阻尼系统）：ζ=0215

8.4.2 情况2（欠阻尼系统）：0＜ζ＜1215

8.4.3 情况3（临界阻尼系统）：ζ=1216

8.4.4 情况4（过阻尼系统）：ζ＞ 1217

8.5 反馈控制基础218

8.5.1 系统目标219

8.5.2 约束条件220

8.6 PID控制221

8.6.1 比例模式控制221

8.6.2 积分模式控制222

8.6.3 导数模式控制223

8.6.4 组合模式224

8.7 高级控制概念224

8.7.1 层级控制225

8.7.2 控制时延225

8.8 稳定性228

8.8.1 线性时不变系统的BIBO稳定性分析229

8.8.2 SISO线性时不变系统的零输入稳定性分析231

8.8.3 放置系统的根232

8.8.4 李雅普诺夫稳定性232

8.9 基于状态空间的建模与控制233

8.9.1 基于状态空间的分析234

8.9.2 能观性和能控性235

8.9.3 控制器设计235

8.10 数字控制236

8.11部分分式展开238

8.11.1 不同根238

8.11.2 复共轭根239

8.11.3 重根239

8.12 进一步阅读240

8.13 习题240

第9章 信息论242

9.1 引言242

9.2 通信的数学模型242

9.3 从消息到符号245

9.4 信源编码246

9.5 通信信道的容量250

9.5.1 信源建模251

9.5.2 无噪声信道的容量252

9.5.3 噪声信道252

9.6 高斯信道258

9.6.1 连续信源建模258

9.6.2 高斯信道260

9.6.3 高斯信道的容量261

9.7 进一步阅读263

9.8 练习264

习题答案266

第1章 习题答案266

第2章 习题答案269

第3章 习题答案272

第4章 习题答案276

第5章 习题答案279

第6章 习题答案283

第7章 习题答案286

第8章 习题答案290

第9章 习题答案292